Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice... On veut déterminer la position relative de la courbe de la fonction racine carrée et de la droite d’équation y =
Mathématiques
Jirryesyes
Question
Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice...
On veut déterminer la position relative de la courbe de la fonction racine carrée et de la droite d’équation y = x , pour x positif. Pour cela on étudie le signe de la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x ) = x − √x .
1) Montrer que f (x ) = √x ( √x −1).
2) Voici la représentation graphique de la fonction racine carrée. À l’aide de la courbe, résoudre graphiquement
l’inéquation √x ≥ 1.
3) Reproduire et compléter le tableau de signe suivant :
(en annexe)
En déduire l’ensemble S des solutions de f (x ) ≥ 0.
4) Grâce au tableau de signe de la question précédente, déterminer la position relative de la droite d’équation y = x et de la courbe de la fonction racine carrée, pour x positif.
Autrement dit, dire pour quelles valeurs de x , la courbe de la fonction racine carrée est au- dessus (respectivement en dessous) de la droite d’équation y = x .
5) Comparer les nombres suivants :
a) 2 et √2,
b) √2 et √√2,
c) 1/2 et 1/√2
Merci d'avance
On veut déterminer la position relative de la courbe de la fonction racine carrée et de la droite d’équation y = x , pour x positif. Pour cela on étudie le signe de la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x ) = x − √x .
1) Montrer que f (x ) = √x ( √x −1).
2) Voici la représentation graphique de la fonction racine carrée. À l’aide de la courbe, résoudre graphiquement
l’inéquation √x ≥ 1.
3) Reproduire et compléter le tableau de signe suivant :
(en annexe)
En déduire l’ensemble S des solutions de f (x ) ≥ 0.
4) Grâce au tableau de signe de la question précédente, déterminer la position relative de la droite d’équation y = x et de la courbe de la fonction racine carrée, pour x positif.
Autrement dit, dire pour quelles valeurs de x , la courbe de la fonction racine carrée est au- dessus (respectivement en dessous) de la droite d’équation y = x .
5) Comparer les nombres suivants :
a) 2 et √2,
b) √2 et √√2,
c) 1/2 et 1/√2
Merci d'avance
1 Réponse
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1. Réponse Svant
Réponse :
1) [tex]\sqrt{x} (\sqrt{x} -1)=\sqrt{x} ^{2} -\sqrt{x} =x-\sqrt{x} =f(x)[/tex]
2) [tex]\sqrt{x} \geq 1[/tex] pour x ∈ [1; +∞[
3) D'après la question 2, √x - 1 ≥ 0 pour x ≥ 1
√x ≥0 pour tout x de R+
Ainsi f(x) ≥ 0 pour x ∈ [1; +∞[
4) x - √x ≥ 0 pour x ≥1
x ≥ √x pour x ≥ 1
Donc la droite d’équation y=x est au dessus de la courbe de la fonction racine carrée pour tout x ≥ 1 et en dessous pour tout 0 ≤ x ≤ 1
La droite et la courbe se coupent en x =0 et x = 1.
5)
2 ≥ 1 donc 2 ≥ √2
√2 ≥ 1 donc √2 ≥ √√2
1/2 ≤ 1 et 1/√2 = √(1/2) donc 1/2 ≤ 1/√2
Explications étape par étape
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