bonjour..f(x)= [x] + √(x-[x]) ...etudier la contuinitè de f sur R ..Df=R ...svp rapidement​

Bonjour ;

Soit z ∈ Z .

Soit x ∈ [z ; z + 1[ avec z constant ; donc on a : [x] = z .

On a aussi : [z] ≤ x < [x] + 1 ; donc : 0 ≤ x - [x] < 1 ;

donc : 0 ≤ √(x - [x]) < 1 ; donc : f(x) = [x] - √(x - [x]) = z - √(x - z) ;

donc f est continue sur [z ; z + 1[ car la fonction x ---> x - z

est continue sur IR et la fonction racine carré est continue

sur IR+ ; donc la composée de ces deux fonctions est continue

sur IR ; donc sur [z ; z + 1[ ; et comme on a z ∈ Z alors f est

continue la réunion de ces intervalles qui IR dont on

a retranché l'ensemble Z .

Il reste donc à démontrer que f continue en z ∈ Z .

Calculons lim(x ---> z -)f(x) .

Pour  x ∈ [z - 1 ; z[ , on a : [x] = z - 1 ;

donc : lim(x ---> z -) f(x) = lim(x ---> z -) [x] + √(x - [x])

= z - 1 + √(z - z + 1) = z - 1 + 1 = z .

Calculons maintenant lim(x ---> z +)f(x) .

Pour  x ∈ [z ; z + 1[ , on a : [x] = z ;

donc : lim(x ---> z +)f(x) = lim(x ---> z +) [x] + √(x - [x])

= z + √(z - z) = z .

On a donc : lim(x ---> z +)f(x) = lim(x ---> z -)f(x) = z ;

donc f est continue en tout z ∈ Z .

Conclusion : f est continue sur IR .