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Question

Le carré ABCD, ci-contre, a un côté de longueur 8 cm. M est un point, placé au hasard sur le segment [AB].
Dans le carré ABCD on construit :
◦ un carré de côté [AM] ;
◦ un triangle isocèle de base [MB] et dont la hauteur a même mesure que le
côté [AM] du carré.
On s’intéresse aux aires du carré, du triangle et du motif constitué par le carré et le triangle
Le carré ABCD, ci-contre, a un côté de longueur 8 cm. M est un point, placé au hasard sur le segment [AB]. Dans le carré ABCD on construit : ◦ un carré de côté

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1 Réponse

  • Réponse :

    1.  Est-il possible que l’aire du triangle soit égale à celle du carré ?

    on écrit: x² = 1/2)(x(8 - x) ⇔ x² = 4 x - (1/2) x² ⇔ 3/2) x² - 4 x = 0 ⇔

    x((3/2) x - 4) = 0    ⇔ 3/2) x - 4 = 0 ⇔ x = 8/3

    pour x = 8/3 , le carré et le triangle ont la même aire  

    2. Est-il possible que l’aire du triangle soit supérieure à 5 cm2 ?

    4 x - (1/2) x² > 5  ⇔ - 1/2) x² + 4 x - 5 > 0  on note f(x) = - 1/2) x² + 4 x - 5 > 0

    Δ = 16 - 10 = 6 ⇒√6 ≈ 2.5

    x1 = - 4 + 2.5)/- 1 = 1.5

    x2 = - 4 - 2.5)/- 1 = 6.5

    x     0                 1.5                  6.5                  8            

    f(x)           -          0          +          0          -

    pour  x ∈ ]1.5 ; 6.5[  on a, f(x) > 0

    3. Est-il possible que l’aire du triangle soit supérieure à l’aire du carré?

    4 x - (1/2) x² > x² ⇔ 3/2) x² - 4 x < 0  ⇔ x((3/2) x - 4) < 0   or  x > 0

    donc  3/2) x - 4 < 0 ⇔ x < 8/3

    pour x < 8/3 on a l'aire du triangle est supérieur à l'aire du carré

    4. Est-il possible que l’aire du motif soit égale à la moitié de l’aire du carré ABCD ?

    x² + 4 x - (1/2) x² = 64 ⇔ 1/2) x² + 4 x - 64 = 0

    Δ = 16 + 128 = 144 ⇒ √144 = 12

    x1 = - 4 + 12)/1 = 8

    Explications étape par étape

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