pouvez vous m'aidez à faire ce dm s'il vous plait

Bonjour ;

1.

Le triangle OA0A1 est rectangle isocèle en A1 ;

donc en appliquant le théorème de Pythagore ,

on a : OA1² + A1A0² = OA0² ;

donc : 2 OA1² = 1 car OA1 = A1A ;

donc : OA1² = 1/2 ;

donc : OA1 = (√2)/2 .

2.

a.

le triangle OAnA(n + 1) est rectangle isocèle en A(n + 1) ;

donc en appliquant le théorème de Pythagore ,

on a : OAn² = OA(n + 1)² + AnA(n + 1)² ;

donc : OAn² = 2 OA(n + 1)² car OA(n + 1) = AnA(n + 1) ;

donc : OA(n + 1)² = 1/2 OAn² ;

donc : OA(n + 1) = (√2)/2 OAn .

b.

On a pour tout n ∈ IN : OA(n + 1) = (√2)/2 OAn ;

donc pour tout n ∈ IN : u(n + 1) = (√2)/2 u(n) ;

donc la u(n) est une suite géométrique de raison q = (√2)/2

et de premier terme u0 = OA0 = 1 ;

donc son terme général est : u(n) = u0 x q^n (^ veut dire puissance)

= 1 x ((√2)/2)^n = ((√2)/2)^n .

3.

a.

Pour tout n ∈ IN : OA(n + 1) = AnA(n + 1) ;

donc : Ln = OA0 + A0A1 + .... + A(n - 1)An

= 0A0 + OA1 + ...... + OAn

= 1 + (√2)/2 + ......... + ((√2)/2)^n

= (1 - ((√2)/2)^(n + 1))/(1 - ((√2)/2)) .

b.

On a : (√2)/2 < 1 ;

donc : lim(n--> + ∞) ((√2)/2)^(n + 1) = 0 ;

donc : lim(n--> + ∞) Ln = lim(n--> + ∞) (1 - ((√2)/2)^(n + 1))/(1 - ((√2)/2))

= 1 /(1 - ((√2)/2)) = 2/(2 - √2) .