Bonjour besoin d'un coup de main rapidement svp Merci bien

Réponse :

déterminer l'emplacement du point M pour que l'aire du rectangle MNOP soit le grand possible

soit AM = x

puisque (MN) ⊥(AC) et (BH) ⊥ (AC) donc (MN) // (BH)

donc d'après le th.Thalès on a; AM/AH = MN/BH ⇔ x/3 = MN/7

⇔ MN = 7/3) x

soit le triangle ABH rectangle en H, donc d'après le th.Pythagore

on a, AB² = AH²+BH² = 3²+7² = 9+49 = 58 ⇒ AB = √58 cm

soit le triangle ANM rectangle en M (car MNOP est un rectangle) donc d'après le th.Pythagore on a;  AN² = AM²+MN² = x² + ((7/3) x)² = 58/9) x²

⇒ AN = x/3)√58

BN/BA = NO/AC ⇔ NO * BA = BN * AC ⇔ NO = BN * AC/BA

⇔ NO = (√58 - x/3)√58)*9/√58 = 9 - 3 x

l'aire du rectangle MNOP est : A = MN * NO = 7/3) x * (9 - 3 x)

A = 21 x - 7 x²

cherchons la forme canonique de A = a(x - α)² + β

a = - 7

α = - b/2a = - 21/- 14 = 3/2

β = A(α) = 21(3/2) - 7(3/2)²

             = 63/2) - 63/4 = 63/4

A = - 7(x - 3/2)² + 63/4

Donc pour x = 3/2 l'aire du rectangle MNOP est maximale  et son aire maximale est de 63/4  

Explications étape par étape