Bonjour, J’ai un Dm de mathématiques niveau 1ère a faire pour la semaine prochaine mais je n’arrive pas à faire une exercice: On veut résoudre dans R l'équation
Question
J’ai un Dm de mathématiques niveau 1ère a faire pour la semaine prochaine mais je n’arrive pas à faire une exercice:
On veut résoudre dans R l'équation:
(E) : x4 + x3 + x + 1 = 0
1. Vérifier que o n'est pas solution de (E).
2. On pose :
X = x + 1/x
a) Expliquer pourquoi x doit être différent de 0.
b) Montrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation:
(E’) : X2 +X-2= 0
3 ) Résoudre l’équation (E’) puis résoudre l’équation (E)
Ps : les nombres après Les X sont les puissances mais je ne sais pas comment l’écrire sur téléphone
Merci de votre aide
1 Réponse
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1. Réponse jpmorin3
bjr
1)
(E) : x⁴ + x³ + x + 1 = 0
si x vaut 0 le premier membre vaut 1
on obtient 1 = 0 égalité fausse
0 n'est pas solution de l'équation
2)
a)
on pose X = x + 1/x
x doit être différent de 0 car on ne peut pas diviser par 0. 1/x n'est pas défini
pour x = 0
b)
► on divise les deux membres de l'équation par x² (non nul)
x² + x + 1/x + 1/x² = 0
(x² + 1/x²) + (x + 1/x) = 0
(x² + 1/x²) + X = 0 (1)
► on exprime x² + 1/x² en fonction de X
(x + 1/x)² = x² + 2*x*(1/x) + (1/x)²
(x + 1/x)² = x² + 2 + (1/x)²
x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2
x² + 1/x² = X² - 2
on porte dans (1)
on obtient l'équation
X² - 2 + X = 0 soit
X² + X - 2 = 0 (E')
3)
on résout l'équation (E')
X² + X - 2 = 0 (E')
Δ = (b²− 4ac) = 1 - 4*1*(-2) = 9 = 3²
(E') a deux solutions
X1 = (-1 + 3)/2 = 1 et X2 = (-1 - 3)/2 = -2
on retourne à la variable x
x + 1/x = 1 ou x + 1/x = - 2
x² + 1 = x ou x² + 1 = -2x
x² - x + 1 = 0 ou x² + 2x + 1 = 0
Δ = - 3 (x + 1)² = 0
pas de solution 1 sol : -1
(E) n'a qu'une solution, c'est : - 1