Bonjour ! Je dois faire cet exercice pour demain et je coince un peu ... si vous pouviez m'aider ce serait super merciii ​

Réponse :

Bonjour,

1.

f'(x) = ln2 * 1 - 2* 1/x

or ln2 - 2/x ≥ 0

-2/x ≥ -ln2

2/x ≤ ln2

x/2 ≥1/ln2

x  ≥ 2 / ln2

Càd que la dérivée est positive lorsque x est plus grand ou égal à 2/ln2 donc dans l'intervalle [2/ln2 ; + infini[

2. Je ne sais pas pour cette partie.

3. f(x) = x((ln(2)  - 2ln(x)/x)

Par croissance comparée en plus l'infini on peu déterminer que 2ln(x)/x tend vers 0 car la fonction x croît beaucoup plus vite que la fonction logarithme. Il s'ensuit que l'ensemble tend vers + infini.

Pour compléter la réponse précédente :

2) On calcule f(4) = 4*ln(2) - 2ln(4) = 0

Comme la fonction est croissante sur [4; +∞[ (4 > 2/ln(2)), on peut écrire :

Si a ≤ b ≤ c, alors f(a) ≤ f(b) ≤ f(c), avec a, b, c ∈ [4; +∞[.

On en déduit que pour x ≥ 4, f(x) ≥ 0