soit ω=e∧i2π/5 Monter que z∧5-1=(z-1)(1+z+z²+z³+z∧4) en déduire que ω est solution de l'équation 1+z+z²+z³+z∧4=0
Mathématiques
bernardditbidou
Question
soit ω=e∧i2π/5
Monter que z∧5-1=(z-1)(1+z+z²+z³+z∧4)
en déduire que ω est solution de l'équation 1+z+z²+z³+z∧4=0
Monter que z∧5-1=(z-1)(1+z+z²+z³+z∧4)
en déduire que ω est solution de l'équation 1+z+z²+z³+z∧4=0
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
soit ω=e∧i2π/5
on a :
(z-1)(1+z+z²+z³+z∧4)
z+z²+z³+z^4+z^5-1-z-z²-z³-z^4
=z^5-1
en déduire que ω est solution de l'équation 1+z+z²+z³+z∧4=0
on obtient
z^5-1=0
z^5=1
z^5=exp(2iπ)
z=exp(2ikπ/5) où k=0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4
S={1;ω;ω²;ω³;ω^4}
on appelle ces solutions les "racines 5èms de l'unité