Bonsoir j'aimerai avoir de l'aide sur un DTL de math que je ne comprend pas voici l'exercice 1 : On cherche a savoir si les propositions suivantes sont vraies o

Bonjour.  

Pour progresser en math , il faut que tu t'entraînes.

Donc je te donne les clés, te montre un exemple et te laisse faire les autres.  

Tu comprendras mieux comme ça.

La clé c'est de définir ton nombre pair et  impair.

Posons qu'un nombre pair se défini pour n'importe quel entier naturel "n" comme  2N   et un nombre impair comme  2N+1

Affirmation 1 : je te laisse trouver un exemple.  

Si on ajoute  2N+2N+1 = 4N+1  

4N est pair puisque divisible par 2 donc  4N+1 est impair.

L'affirmation est vraie .  

Je te laisse essayer avec l'affirmation 2 et  3.  

Si tu bloques, demande en commentaire.

Bon courage !

Réponse :

Avant de commencer, il faut savoir plusieurs chose :

- la forme générale d'un nombre pair est 2n avec n un nombre entier (c'est aussi la forme générale d'un multiple de 2)

- la forme générale d'un nombre impair est 2n + 1 avec n un nombre entier

AFFIRMATION 1

La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est toujours un nombre impair.

Vrai.

On prend p et q deux entiers quelconques

On a alors 2p un entier pair

et 2q+1 un entier impair

On a alors 2p + (2q+1) = 2p + 2q + 1 = 2(p+q) + 1

2(p+q) + 1 est de la forme 2n + 1 avec n un entier (ici n = p+q)

Donc  2(p+q) + 1 est un nombre impair

Ceci démontre que la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est toujours un nombre impair.

AFFIRMATION 2

Le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair est toujours un nombre pair.

Vrai.

On reprend p et q et donc 2p et 2q+1

On va faire leur produit :

(2p) × (2q+1) = 4pq + 2p = 2(2pq + 1)

2(2pq + 1) est de la forme 2n avec n un entier (ici n = 2pq + 1)

donc 2(2pq + 1) est un nombre pair

Ceci démontre que le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair est toujours un nombre pair.

AFFIRMATION 3

La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.

Vrai.

On va prendre p, p+1 et p+2, trois nombres consécutifs.

On va faire leur somme :

p + (p+1) + (p+2) = p + p + 1 + p + 2 = 3p + 3 = 3(p + 1)

3(p + 1) est de la forme 3n avec n un entier. Ceci est la forme générale d'un multiple de 3 (ici n = p + 1)

donc 3(p + 1) est un multiple de 3

Ceci démontre que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.