Bonjour, pourriez vous m'aider s'il vous plaît ! merci d'avance !! Montrez que la suite récurrente (Un) définie par u0 = 1 et Un+1 = sqrt(2 + Un) est convergent

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

[tex]u_0=1\\u_{n+1}=\sqrt{2+u_n} \\[/tex]

1)

[tex]1\leq u_n\leq 2\\Initialisation:\\1\leq u_0\leq 2\\H\' er\' edit\' e:\\1\leq u_n\leq 2\\2+1\leq 2+u_n\leq 2+2\\\sqrt{3} \leq \sqrt{2+u_n} \leq \sqrt{4} \\1\leq \sqrt{3} \leq u_{n+1}\leq 2\\[/tex]

2)

[tex]u_n\leq u_{n+1}\\Initialisation:\\u_0\leq u_1\\1\leq \sqrt{3} \est\ vrai\\\\H\' er\' edit\' e:\\u_n\leq u_{n+1}\\2+u_n\leq 2+u_{n+1}\\\\\sqrt{2+u_n}\leq \sqrt{2+u_{n+1}}[/tex]

La suite est majorée par 2 et croissante, donc convergente.

Sa limite vaut 2

Soit x sa limite:

[tex]x=\sqrt{2+x} \\x²=2+x\\x²-x-2=0\\(x-2)(x+1)=0\\x=-1: impossible\\[/tex]