Bonjour, résoudre algébriquement l’équation f(x)=g(x) sachant que f(x)= -4/x^2+1 (-4 sur x au carré +1) et que g(x)= x-3

Bonjour ;

f(x) = g(x) ;

donc : - 4/(x² + 1) = x - 3 ;

donc : - 4 = (x - 3)(x² + 1) ;

donc : - 4 = x³ + x - 3x² - 3 ;

donc : 0 = x³ - 3x² + x + 1 .

Cette équation a une solution triviale qui est : x1 = 1 ;

donc on a : x³ - 3x² + x + 1 = (x - 1)(ax² + bx + c) avec

a , b et c des nombres réels .

Développons : (x - 1)(ax² + bx + c) .

(x - 1)(ax² + bx + c) = ax³ + bx² + cx - ax² - bx - c

= ax³ + (b - a)x²+ (c - b)x - c .

On a donc : x³ - 3x² + x + 1 = ax³ + (b - a)x²+ (c - b)x - c ;

donc : a = 1 ; b - a = b - 1 = - 3 ; donc : b = - 2 et c = - 1 ;

donc : x³ - 3x² + x + 1 = (x - 1)(x² - 2x - 1) .

Résolvons tout d'abord l'équation : x² - 2x - 1 = 0 .

x² - 2x - 1 = 0 ;

donc : Δ = (- 2)² - 4 * 1 * (- 1) = 4 + 4 = 8 = (2√2)² ;

donc : x2 = (2 - 2√2)/2 = 1 - √2 et x3 = (2 + 2√2)/2 = 1 + √2 .

Conclusion .

Les solutions de l'équation : f(x) = g(x) sont :

x1 = 1 ; x2 = 1 - √2 et x3 = 1 + √2 .