Resoudre cette inequation 1/lxl<1/x-1

Réponse : Bonsoir,

[tex]\frac{1}{|x|} < \frac{1}{x-1}\\\frac{1}{|x|}-\frac{1}{x-1} < 0\\\frac{x-1-|x|}{|x|(x-1)} < 0[/tex]

On a que:

i) Si x < 0, alors [tex]|x|=-x[/tex], donc [tex]x-1-|x|=x-1-(-x)=x-1+x=2x-1[/tex]

ii) Si x=0, [tex]\frac{x-1-|x|}{|x|(x-1)}[/tex] n'est pas définie.

iii) Si x >0, alors [tex]x-1-|x|=x-1-x=-1[/tex], car [tex]|x|=x[/tex].

On a donc le tableau suivant:

x           -∞                                  0                      1/2                 1                      +∞

2x-1                         -                              -            Ф           +                 +

x-1                           -                               -                          -     Ф         +                                                                            

[tex]\frac{2x-1}{-x(x-1)}[/tex]                   +                   ║                      Ф

[tex]\frac{-1}{x(x-1)}[/tex]                                          ║         +                          +    ║          -

On a que pour [tex]x \in ]1;+\infty[, \frac{-1}{x(x-1)} < 0[/tex], alors les solutions de l'inéquation est l'intervalle [tex]]1;+\infty[[/tex].