Exercice 1. Le quadrilatère ABCD est un parallelogramme non aplati. On considère le point R tel que le vecteur AR = 5/2du vecteur AB et le point S tel que le ve

Réponse :

3) montrer que  vec(SR) = 5/2)vec(AB) - 5/3)vec(AD)

d'après la relation de Chasles on peut écrire  vec(SA) + vec(AR) = vec(SR)

or vec(SA) = - vec(AS) = - 5/3)vec(AD)

vec(SR) = - 5/3)vec(AD) + 5/2)vec(AB)

4) montrer que  vec(SC) = - 2/3)vec(AD) + vec(AB)

vec(SD) + vec(DC) = vec(SC)   selon la relation de Chasles

vec(SD) = - vec(DS)

or vec(AS) = vec(AD) + (- vec(DS)) ⇔ vec(DS) = vec(AD) - vec(AS)

⇔ vec(DS) = vec(AD) - 5/3)vec(AD) = (3 vec(AD) - 5vec(AD))/3

= - 2/3)vec(AD)

vec(SC) = - 2/3)vec(AD) + vec(DC)  or vec(DC) = vec(AB)  car ABCD est parallélogramme

on obtient finalement    vec(SC) = - 2/3)vec(AD) + vec(AB)

5) les vecteurs SC et SR sont-ils colinéaires ?

les vecteurs SC et SR sont colinéaires, s'il existe un réel k tel que

 vec(SR) = k x vec(SC)

  5/2)vec(AB) - 5/3)vec(AD) =  k x (- 2/3)vec(AD) + vec(AB))

⇔ 5/2) vec(AB) = k x vec(AB) ⇔ k = 5/2

⇔ - 5/3)vec(AD) = k x (- 2/3)vec(AD) ⇔ - 2/3) k = - 5/3 ⇔ k = 5/2

donc il existe un réel k = 5/2  donc les vecteurs SR et SC sont colinéaires

les points S, C et R sont donc alignés    

Explications étape par étape